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計算メモ

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二体演算子の期待値

原子核 Brink波動関数

$A$体系の波動関数

\begin{align} \Phi(\boldsymbol{Z}_{1},\cdots,\boldsymbol{Z}_{A}) & = \frac{1}{\sqrt{A!}}\begin{vmatrix}\langle\boldsymbol{r}_{1}|\varphi_{1}\rangle & \cdots & \langle\boldsymbol{r}_{1}|\varphi_{A}\rangle\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \langle\boldsymbol{r}_{A}|\varphi_{1}\rangle & \cdots & \langle\boldsymbol{r}_{A}|\varphi_{A}\rangle\end{vmatrix}\\ & = \frac{1}{\sqrt{A!}}\det\{\varphi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\varphi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})\} \end{align}

準備

一般に、$n\times n$の$行列B$は以下の性質をもつ。$\Delta_{ij}$は$(i,j)$成分の余因子。 \begin{align} |B| & =\sum_{j}B_{ij}\Delta_{ij}\\ \Delta_{ij} & =B_{ji}^{-1}|B|\label{cofactor} \end{align}

一体演算子の期待値の計算には行列式と余因子の関係(\ref{cofactor})を用いたが、二体演算子の場合は行列式と二重余因子の関係を利用する。 更に余因子を拡張することが想像できるが、Laplace展開と呼ばれる。 \begin{align} |B| & =\sum_{j}B_{ij}\Delta_{ij}\\ & =\sum_{k\ell}B_{ik}B_{j\ell}\Delta_{ij,k\ell}\label{dcofactor} \end{align}

$i$行目に関して余因子展開した後の小行列式の$j$行目に関して再び余因子展開をしている。$j,\ \ell=1,\cdots,n-1$を取り得る。 \begin{align} \Delta_{ij,k\ell} & =|B|\begin{vmatrix}B_{ki}^{-1} & B_{kj}^{-1}\\ B_{\ell i}^{-1} & B_{\ell j}^{-1}\end{vmatrix} \end{align}

計算

二体演算子の期待値を計算する。 \begin{align} \mathcal{O}_{ij} & =\sum_{m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}|\ket{m_{1}(\boldsymbol{r}_{i})m_{2}(\boldsymbol{r}_{j})}\bra{m_{1}(\boldsymbol{r}_{i})m_{2}(\boldsymbol{r}_{j})}|\mathcal{O}_{ij}|\ket{n_{1}(\boldsymbol{r}_{i})n_{2}(\boldsymbol{r}_{j})}\bra{n_{1}(\boldsymbol{r}_{i})n_{2}(\boldsymbol{r}_{j})}|\\ & =\sum_{m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}\bra{m_{1}(\boldsymbol{r}_{i})m_{2}(\boldsymbol{r}_{j})}|\mathcal{O}_{ij}|\ket{n_{1}(\boldsymbol{r}_{i})n_{2}(\boldsymbol{r}_{j})}\underbrace{|\ket{m_{1}(\boldsymbol{r}_{i})}\bra{n_{1}(\boldsymbol{r}_{i})}|}_{o_{m_{1}n_{1}}(\boldsymbol{r}_{i})}\underbrace{|\ket{m_{2}(\boldsymbol{r}_{j})}\bra{n_{2}(\boldsymbol{r}_{j})}|}_{o_{m_{2}n_{2}}(\boldsymbol{r}_{j})} \end{align}

\begin{align} & \bra{\Phi}|\sum_{i\ne j}^{A}\mathcal{O}_{ij}|\ket{\Psi}\\ & =\sum_{i\ne j}^{A}\bra{\varphi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\varphi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})}|\mathcal{O}_{ij}|\ket{\det{\psi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\psi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})}}\\ & =\sum_{m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}\bra{m_{1}(\boldsymbol{r}_{1})m_{2}(\boldsymbol{r}_{2})}|\mathcal{O}|\ket{n_{1}(\boldsymbol{r}_{1})n_{2}(\boldsymbol{r}_{2})}\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{i\ne j}^{A}\bra{\varphi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots o_{m_{1}n_{1}}^{\dagger}(\boldsymbol{r}_{i})\varphi_{i}(\boldsymbol{r}_{i})\cdots o_{m_{2}n_{2}}^{\dagger}(\boldsymbol{r}_{j})\varphi_{j}(\boldsymbol{r}_{j})\cdots\varphi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})}|\ket{\det{\psi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\psi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})}}\\ & =\sum_{m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}\bra{m_{1}(\boldsymbol{r}_{1})m_{2}(\boldsymbol{r}_{2})}|\mathcal{O}|\ket{n_{1}(\boldsymbol{r}_{1})n_{2}(\boldsymbol{r}_{2})}\sum_{i\ne j}^{A}\begin{vmatrix}\bra{\varphi_{1}}|\ket{\psi_{1}} & \cdots & \bra{\varphi_{1}}|\ket{\psi_{A}}\\ \vdots & & \vdots\\ \bra{\varphi_{i}}|o_{m_{1}n_{1}}|\ket{\psi_{1}} & \cdots & \bra{\varphi_{i}}|o_{m_{1}n_{1}}|\ket{\psi_{A}}\\ \vdots & & \vdots\\ \bra{\varphi_{j}}|o_{m_{2}n_{2}}|\ket{\psi_{1}} & \cdots & \bra{\varphi_{j}}|o_{m_{2}n_{2}}|\ket{\psi_{A}}\\ \vdots & & \vdots\\ \bra{\varphi_{A}}|\ket{\psi_{1}} & \cdots & \bra{\varphi_{A}}|\ket{\psi_{A}}\end{vmatrix}\\ & =\sum_{m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}\bra{m_{1}(\boldsymbol{r}_{1})m_{2}(\boldsymbol{r}_{2})}|\mathcal{O}|\ket{n_{1}(\boldsymbol{r}_{1})n_{2}(\boldsymbol{r}_{2})}\sum_{i\ne j}^{A}\sum_{k\ell=1}\bra{\varphi_{i}}|o_{m_{1}n_{1}}|\ket{\psi_{k}}\bra{\varphi_{j}}|o_{m_{2}n_{2}}|\ket{\psi_{\ell}}\Delta_{ij,k\ell}\\ & =\sum_{ijk\ell}\bra{\varphi_{i}\varphi_{j}}|\mathcal{O}|\ket{\psi_{k}\psi_{\ell}}\Delta_{ij,k\ell}\\ & =\sum_{ijk\ell}\bra{\varphi_{i}\varphi_{j}}|\mathcal{O}|\ket{\psi_{k}\psi_{\ell}}|B|\begin{vmatrix}B_{ki}^{-1} & B_{kj}^{-1}\\ B_{\ell i}^{-1} & B_{\ell j}^{-1}\end{vmatrix}\\ & =\bra{\Phi}|\ket{\Psi}\sum_{ijk\ell}\bra{\varphi_{i}\varphi_{j}}|\mathcal{O}|\ket{\psi_{k}\psi_{\ell}}\begin{vmatrix}B_{ki}^{-1} & B_{kj}^{-1}\\ B_{\ell i}^{-1} & B_{\ell j}^{-1}\end{vmatrix} \end{align}

\begin{align} \bra{\Phi}|\frac{1}{2}\sum_{i\ne j}^{A}\mathcal{O}_{ij}|\ket{\Psi} = \boxed{ \frac{1}{2}\bra{\Phi}|\ket{\Psi}\sum_{ijk\ell}\bra{\varphi_{i}\varphi_{j}}|\mathcal{O}|\ket{\psi_{k}\psi_{\ell}}\begin{vmatrix}B_{ki}^{-1} & B_{kj}^{-1}\\ B_{\ell i}^{-1} & B_{\ell j}^{-1}\end{vmatrix} } \end{align}

参考文献

一体演算子の期待値

原子核 Brink波動関数

$A$体系の波動関数

\begin{align} \Phi(\boldsymbol{Z}_{1},\cdots,\boldsymbol{Z}_{A}) & = \frac{1}{\sqrt{A!}}\begin{vmatrix}\langle\boldsymbol{r}_{1}|\varphi_{1}\rangle & \cdots & \langle\boldsymbol{r}_{1}|\varphi_{A}\rangle\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \langle\boldsymbol{r}_{A}|\varphi_{1}\rangle & \cdots & \langle\boldsymbol{r}_{A}|\varphi_{A}\rangle\end{vmatrix}\\ & = \frac{1}{\sqrt{A!}}\det\{\varphi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\varphi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})\} \end{align}

計算

一体演算子の期待値を計算する。 \begin{align} \bra{\Phi}|\sum_{i=1}^{A}\mathcal{O}_{i}|\ket{\Psi} & =\sum_{i=1}^{A}\bra{\varphi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\varphi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})}|\mathcal{O}_{i}|\ket{\det\{\psi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\psi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})\}}\\ & =\sum_{i=1}^{A}\bra{\varphi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\mathcal{O}_{i}^{\dagger}\varphi_{i}(\boldsymbol{r}_{i})\cdots\varphi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})}|\ket{\det\{\psi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\psi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})\}}\\ & =\sum_{i=1}^{A}\begin{vmatrix}\bra{\varphi_{1}}|\ket{\psi_{1}} & \cdots & \bra{\varphi_{1}}|\ket{\psi_{A}}\\ \vdots & & \vdots\\ \bra{\varphi_{i}}|\mathcal{O}|\ket{\psi_{1}} & \cdots & \bra{\varphi_{i}}|\mathcal{O}|\ket{\psi_{A}}\\ \vdots & & \vdots\\ \bra{\varphi_{A}}|\ket{\psi_{1}} & \cdots & \bra{\varphi_{A}}|\ket{\psi_{A}} \end{vmatrix}\\ & =\sum_{i=1}^{A}\sum_{j=1}^{A}\bra{\varphi_{i}}|\mathcal{O}|\ket{\psi_{j}}\Delta_{ij}\\ & =\sum_{ij=1}^{A}\bra{\varphi_{i}}|\mathcal{O}|\ket{\psi_{j}}(\det B)B_{ji}^{-1}\\ & =\boxed{\bra{\Phi}|\ket{\Psi}\sum_{ij=1}^{A}\bra{\varphi_{i}}|\mathcal{O}|\ket{\psi_{j}}B_{ji}^{-1}} \end{align}

一般に、行列$B$は以下の性質をもつことに注意。$\Delta_{ij}$は$(i,j)$成分の余因子。 \begin{align} |B| & =\sum_{j}B_{ij}\Delta_{ij}\\ \Delta_{ij} & =B_{ji}^{-1}|B| \end{align}

参考文献

内積

原子核 Brink波動関数

*1

$A$体系での計算

$A$体系の波動関数 \begin{align} \Phi(\boldsymbol{Z}_{1},\cdots,\boldsymbol{Z}_{A}) & = \frac{1}{\sqrt{A!}}\begin{vmatrix}\langle\boldsymbol{r}_{1}|\varphi_{1}\rangle & \cdots & \langle\boldsymbol{r}_{1}|\varphi_{A}\rangle\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \langle\boldsymbol{r}_{A}|\varphi_{1}\rangle & \cdots & \langle\boldsymbol{r}_{A}|\varphi_{A}\rangle\end{vmatrix}\\ & = \frac{1}{\sqrt{A!}}\det\{\varphi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\varphi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})\}\\ \varphi & = \phi\chi\eta\\ \phi_{i}(\boldsymbol{r};\boldsymbol{Z}) & =\left(\frac{2\nu}{\pi}\right)^{3/4}\exp\left\{ -\nu\left(\boldsymbol{r}-\frac{\boldsymbol{Z}_{i}}{\sqrt{\nu}}\right)^{2}+\frac{\boldsymbol{Z}_{i}^{2}}{2}\right\} \label{1nucleon} \end{align} このように表わされるのだった。 mtkblog.hatenablog.com

この内積を計算しよう。 \begin{align} \bra{\Phi}|\ket{\Psi} & =\frac{1}{A!}\bra{\det\{\varphi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\varphi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})\}}|\ket{\det\{\psi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\psi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})\}}\\ & =\bra{\varphi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\varphi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})}|\ket{\det\{\psi_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\cdots\psi_{A}(\boldsymbol{r}_{A})\}}\\ & =\sum_{P_{1}\cdots P_{A}}\varepsilon(P_{1}\cdots P_{A})\bra{\varphi_{1}}|\ket{\psi_{P_{1}}}\cdots\bra{\varphi_{A}}|\ket{\psi_{P_{A}}}\\ & =\det\{\bra{\varphi_{i}}|\ket{\psi_{j}}\}\\ & =\det\{B_{ij}\} \end{align}

  • 2体系で確認してみよう

$N\alpha$系での例

$\alpha$粒子はスピン$\chi=\{\uparrow,\ \downarrow\}$, アイソスピン$\eta=${proton, neutron}。 \begin{align} \bra{\Phi}|\ket{\Psi} & = \det\{B_{ij}\},\ (i,\ j=1,\cdots,A)\\ & =\begin{vmatrix}\boxed{b_{ij}}\\ & \boxed{b_{ij}}\\ & & \boxed{b_{ij}}\\ & & & \boxed{b_{ij}}\end{vmatrix}\\ & = \left|\ \boxed{b_{ij}}\ \right|^{4},\ (i,\ j = 1,\cdots,N) \end{align}

参考文献

*1:適宜、加筆します。

Brink波動関数

原子核 Brink波動関数

*1

Brink波動関数とは？

核子をガウス関数で表したもの。 様々な模型で用いられてきたが、現在最も汎用性の高いと思われるAMDでも用いられている。 ja.wikipedia.org

具体例

$$ \begin{align} \phi_{i}(\boldsymbol{r};\boldsymbol{Z}) & =\left(\frac{2\nu}{\pi}\right)^{3/4}\exp\left\{ -\nu\left(\boldsymbol{r}-\frac{\boldsymbol{Z}_{i}}{\sqrt{\nu}}\right)^{2}+\frac{\boldsymbol{Z}_{i}^{2}}{2}\right\} \label{1nucleon} \end{align} $$

ここで、$\nu$はガウス関数の幅を調節するパラメータ。$\boldsymbol{Z}_{i} $は$i$番目の核子の座標で現在では複素数で表されている。$()^{3/4}$は規格化定数。

$\boldsymbol{Z}_{i}^{2}/2$は計算を楽にするために付け加えられた項で、本質ではない。回転不変を満たしていることに留意せよ。

この例では$x,y,z$に関して等方的だが、$3\times3$正対称行列$^{t}M=M $を導入することでより柔軟な記述が可能である。$(\ref{1nucleon})$式と表記が違うのは許してほしい。この場合の計算も時間があったら載せようと思う。（計算量が圧倒的に多い。）

$$ \begin{align} \phi_{i}(\boldsymbol{r};\boldsymbol{Z}) & =\left(\frac{|2M|}{\pi^{3}}\right)^{1/4}\exp\left\{ -^{t}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{Z}_{i})M(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{Z}_{i})\right\} \end{align} $$

$A$体系は $$ \begin{align} \Phi(\boldsymbol{Z}_{1}\cdots\boldsymbol{Z}_{N}) & =\frac{1}{\sqrt{A!}}\begin{vmatrix}\bra{\boldsymbol{r}_{1}}| \ket{\varphi_{1}} & \cdots & \bra{\boldsymbol{r}_{1}}|\ket{\varphi_{A}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \bra{\boldsymbol{r}_{A}}|\ket{\varphi_{1}} & \cdots & \bra{\boldsymbol{r}_{A}}|\ket{\varphi_{A}} \end{vmatrix}\\ \varphi_{i} & =\phi_{i}\otimes(\alpha_{i}\chi_{\uparrow}+\beta_{i}\chi_{\downarrow})\otimes\eta_{i} \label{kakushi} \end{align} $$

のように記述される。$\chi,\ \eta$はそれぞれスピンとアイソスピンを表す。$\boldsymbol{Z}_{i},\ \alpha_{i},\ \beta_{i},\ \nu$を変分によって決定している。面白いことに、これは構成粒子数の異なるクラスターから成る系に拡張できる。これも時間があれば書こうと思う。

以下では、簡単のために$\alpha$粒子を仮定し、スピンは上下のみとする。 $N\alpha$系は以下のように記述される。$(\ref{kakushi})$式は、例えば陽子のスピンが上のとき $$ \begin{align} \varphi_{i} & = \phi_{i}\otimes\chi_{\uparrow}\otimes p \end{align} $$ となる。

オーバーラップ（重なり積分）

後々、頻繁に出てくる量なので最初に計算しておこう。

$$ \begin{align} b_{ij}\equiv\bra{\phi_{i}}|\ket{\phi_{j}} & =e^{\boldsymbol{Z}_{i}^{*}\cdot\boldsymbol{Z}_{j}} \end{align} $$

この通り、非常にすっきりした形になる。 我々が扱うのは非直交基底なので、$b_{ij}\ne\delta_{ij}$に注意。

次回は、ノルムの計算を書こうかな。

参考文献

*1:追記する予定。まだ私の記述スキルがないため読みにくいと思う。

初めまして。

自己紹介

急に思い立ってブログを開設してみた。

普段自分用にメモしていたものをどうせなら公開していこうと思う。

はっきり言って需要は限られたものだが、少しでも参考になればと思う。

が主なコンテンツになる。

とても狭い業界で戸惑う人も多いと思う。

勿論、専門外の方にも読んで頂けたら嬉しいが、学部4年生で原子核に興味がある方を対象になると思う。

 

また、学生であることを言い訳にはできませんが、間違いを見つけた際は指摘して抱けると幸いです。

更新頻度も高くはないと思う。

また、内容から誰がこのブログを書いているのかわかる方もいると思う。

不適切なことがあれば指摘してほしいです。。。

 

先ずはブログの書き方から習得しなくては

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

とりあえず数式が打てたよう。